$p_\lambda$：冪和対称関数
$s_\lambda$：Schur対称関数
$V_\lambda$：$\lambda$ に対応する対称群の既約表現（$(n)$ が自明表現に対応）
$\chi^\lambda$：$ V_\lambda$ の指標
$ w_\mu$：cycle type が$ \mu$ であるような対称群の要素（$(1^n)$ が単位元に対応）
として、
\[ \chi^\lambda_\mu := \chi^\lambda(w_\mu)\]
とする。
\begin{align} p_\mu &= \sum_{\lambda} \chi^\lambda_\mu\ s_\lambda\\ s_\lambda &= \sum_\mu z^{-1}_\mu \chi^\lambda_\mu\ p_\mu \end{align}
以下 $ST(\lambda)$、$SST(\lambda)$ はそれぞれ shape $ \lambda$ の標準盤、半標準盤の集合とする。
$w_{(1^n)}=\mathrm{id}$ なので、$ \chi^\lambda_{(1^n)}=\dim V_\lambda$
よって
\[ p_{(1^n)}=p_{(1)}^n = \sum_\lambda \dim V_\lambda s_\lambda = \sum_\lambda \# ST(\lambda)\times s_\lambda \]
ここで、
\[ s_\lambda = \sum_{T\in SST(\lambda)} x^{\mathrm{weight}(T)} \]
なので
\[ \left( \sum_i x_i \right)^n = \sum_{(S,T)\in\cup_\lambda ST(\lambda)\times SST(\lambda)} x^{\mathrm{weight}(T)} \]
左辺の項は長さ $n$ のwordに対応しているので、この等式はRSK対応の特殊化として見ることができる。
$\chi^{(n)}$ は自明な表現なので $\chi^{(n)}_\mu = 1$、よって \[ s_{(n)} =h_n= \sum_\mu z^{-1}_\mu p_\mu\] $n=3$ のとき、右辺は \begin{align} &\frac{1}{3}p_3 + \frac{1}{2}p_1\ p_2 + \frac{1}{6}p_1^3 \\ &= \frac{1}{3}m_{(3)} + \frac{1}{2}(m_{(3)}+m_{(2,1)})+\frac{1}{6}(m_{(3)}+3m_{(2,1)}+6m_{(1^3)} )\\ &=m_{(3)}+ m_{(2,1)}+m_{(1^3)}\\ &=h_3\\ \end{align} となって左辺と一致する。